Bonjour,
Tu as vu juste : si ton moteur est bien un 99HB 81 P (j'ai le même), ton démarreur à inertie n'est pas le bon, il est trop ancien.
Il te faut un modèle plus récent.
Comme celui-ci (modèle pré-engagé, facilement reconnaissable) :
https://www.datch.fr/fr/mini-mg-triumph-demarreur-pre-engage-m79pe-mini-origine-p-692.html
Et pour ne pas favoriser tel ou tel marchand, ici aussi :
https://www.thelittlecarshop.com/1763-demarreur-pre-engage-a-partir-de-1985-austin-mini-demarreurs.html?utm_source=doofinder&utm_medium=doofinder&utm_campaign=doofinder
Et ici aussi (photo très claire) :
https://www.britishcarcentre.fr/fr/austin-mini/austin-mini-electricite/electricite-demarreurs/2101/demarreur-a-pre-engagement-mini-a-partir-de-1985-neuf/geu9023new.html
Après, on en trouve sur le net d'occasion, mais dur de dire l'état réel :
Ici, une personne en vend 1 pour 50 euros :
https://www.leboncoin.fr/equipement_auto/1312131385.htm?ca=12_s
Après, si tu ne veux pas mettre cher, ici un autre pour 20 euros :
https://www.leboncoin.fr/equipement_auto/1063250837.htm?ca=12_s